Ricevo da Licia la seguente domanda:
Buonasera Professore,
mi sto allenando per i quiz della maturità, ma non so svolgere questa domanda. Mi aiuta? Grazie mille!
Determinare la probabilità che, giocando quattro numeri su una ruota fissata del lotto, esca almeno un ambo.
Le rispondo così:
Cara Licia,
premesso che, per una fissata ruota del lotto, l’evento consiste nell’estrazione di una cinquina di numeri su \(90\), e che l’ordine di estrazione non interessa, l’insieme delle possibili estrazioni equiprobabili a priori è pari alle combinazioni di \(90\) oggetti presi \(5\) a \(5\), cioè \[{{C}_{90,5}}=\frac{90!}{85!5!}=43949268\quad .\]
Immaginiamo ora di scegliere \(4\) numeri, diciamo \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\) (ovviamente, per il nostro calcolo, qualsiasi altra scelta sarebbe equivalente): possiamo calcolare la probabilità dell’evento: \(E\)=”la cinquina estratta contiene almeno due dei numeri prescelti” a partire dalla probabilità dell’evento contrario, cioè \(\bar{E}\)=”la cinquina estratta contiene al massimo uno dei numeri scelti”, evento che, a sua volta, può essere pensato come unione di due eventi disgiunti: \({{\bar{E}}_{1}}\)=”la cinquina estratta non contiene nessuno dei numeri prescelti”, \({{\bar{E}}_{2}}\)=”la cinquina estratta contiene esattamente uno solo dei numeri prescelti”. Si avrà quindi, in base a noti teoremi di calcolo delle probabilità: \[p\left( E \right)=1-p\left( {\bar{E}} \right)=1-\left( p\left( {{{\bar{E}}}_{1}} \right)+p\left( {{{\bar{E}}}_{2}} \right) \right)\quad .\]
La probablità di \({{\bar{E}}_{1}}\) è data dal rapporto tra il numero di cinquine che non contengono nessuno dei \(4\) numeri prescelti e il numero totale di cinquine possibili, cioè: \[p\left( {{{\bar{E}}}_{1}} \right)=\frac{{{C}_{86,5}}}{{{C}_{90,5}}}=\frac{86!}{81!5!}\cdot \frac{85!5!}{90!}=\frac{85\cdot 84\cdot 83\cdot 82}{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87}\approx 0,7924\quad .\]
La probablità di \({{\bar{E}}_{2}}\) è data dal rapporto tra il numero di cinquine che contengono solamente uno dei \(4\) numeri prescelti (cioè quattro volte il numero di cinquine che contengono un particolare numero tra quelli prescelti e non contengono gli altri tre, in pratica il numero di modi in cui si possono associare, ad ognuno dei quattro numeri, quartine di numeri tra gli \(86\) che restano avendo escluso il numero stesso e gli altri tre) e il numero totale di cinquine possibili, cioè: \[p\left( {{{\bar{E}}}_{2}} \right)=\frac{4\cdot {{C}_{86,4}}}{{{C}_{90,5}}}=\frac{86!}{82!4!}\cdot \frac{85!5!}{90!}=\frac{85\cdot 84\cdot 83\cdot 20}{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87}\approx 0,1933\quad .\]
In conclusione: \[p\left( E \right)\approx 1-\left( 0,7924+0,1933 \right)\approx 0,0143\to p\left( E \right)\approx 1,43\%\quad .\]