Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
non ho capito questi quesiti:
1) Una scolaresca in gita è accompagnata da \(4\) insegnanti. Per accelerare le operazioni, ogni insegnante conta i ragazzi: la prima a \(2\) a \(2\), la seconda a \(3\) a \(3\), la terza a \(4\) a \(4\), la quarta a \(5\) a \(5\), ed a tutte ne avanza uno. Sapendo che i ragazzi sono tutti presenti e che il loro numero è compreso tra \(40\) e \(80\), di quanti alunni è composta la scolaresca?
2) In una classe ci sono \(25\) studenti, \(15\) italiani e \(10\) stranieri. Se ne estraggono a sorte \(2\): la probabilità che i due estratti siano uno straniero e un italiano è?
3) Marco, Claudio, Luca e Paolo stanno giocando a poker con tutte le carte dall’otto all’asso (\(8\), \(9\), \(10\), \(J\), \(Q\), \(K\) e asso). Che probabilità ha Paolo di vedersi servito un colore (tutte e cinque le carte dello stesso seme)? Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso si tratta di osservare che le ipotesi implicano che il numero \(x\) degli studenti sia un successivo di un multiplo di \(2\), ma anche di un multiplo di \(3\), di un multiplo di \(4\) e di un multiplo di \(5\), per cui possiamo dire che esistono certi interi positivi \(m\), \(n\), \(p\) e \(q\) tali che: \[2n+1=3m+1=4p+1=5q+1=x\to x-1=2n=3m=4p=5q\quad.\] In altri termini, \(x-1\) deve essere divisibile sia per \(5\) che per \(4\) (quindi anche per \(2\)) che per \(3\), e quindi si ha come minimo che \(x-1=60\): poiché il successivo multiplo comune di questi tre interi è \(120\), concludiamo che \(x=61\).
Nel secondo caso, l’evento che ci interessa si presenta come unione di due eventi disgiunti: vengono estratti prima un italiano poi uno straniero, vengono estratti prima uno straniero poi un italiano, il primo evento con probabilità \(\frac{15}{25}\cdot \frac{10}{24}=\frac{1}{4}\), il secondo evento con uguale probabilità \(\frac{10}{25}\cdot \frac{15}{24}=\frac{1}{4}\), per cui la probabilità dell’evento in questione (“i due estratti sono uno straniero e un italiano”) è \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\).
Nell’ultimo caso, si tratta di contare preliminarmente tutte le possibili prime mani (equiprobabili), cioè le cinquine di carte che, indipendentemente dall’ordine, si possono estrarre da \(4\cdot 8=32\), cioè le combinazioni \({{C}_{32,5}}=\frac{32!}{27!5!}=201376\), quindi si contano le possibili cinquine di un dato seme, cioè le combinazioni \({{C}_{8,5}}=\frac{8!}{3!5!}=56\), e le si moltiplicano per \(4\) (il numero di semi diversi), ottenendo la probabilità cercata:\[p=\frac{4\cdot {{C}_{8,5}}}{{{C}_{32,5}}}=\frac{224}{201376}\approx 0,11 \%\quad .\]
Massimo Bergamini