Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gent.mo professore,
ho il seguente problema.
In quanti modi diversi possiamo distribuire otto tavolette di cioccolato a cinque bambini, sapendo che possiamo assegnare a qualche bambino più di una tavoletta?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
premesso che bisognerebbe forse precisare che possiamo anche lasciare qualche bambino senza cioccolato (!), il problema è un classico esempio di conteggio delle combinazioni con ripetizione di \(k=8\) oggetti uguali da distribuire in \(n=5\) “posti” distinti. Un modo di giustificare la formula che ne deriva, è quello di rendere il problema “isomorfo” ad un problema di anagrammi. Introduciamo due simboli, uno per i “posti” (i bambini, nel nostro caso), diciamo \(B\), e uno per gli “oggetti” (le tavolette di cioccolato), diciamo \(T\): una possibile distribuzione è univocamente determinata da una “parola” di questo tipo: \[BTTBTBBTTBTTT\] che significa, ad esempio, che il primo bambino riceve \(2\) tavolette, il secondo \(1\) tavoletta, il terzo \(0\), il quarto \(2\) e il quinto \(3\). Una qualsiasi altra combinazione si ottiene riordinando in tutti i modi possibili le \(12\) lettere che seguono la prima lettera di questa parola, che inizia sempre per \(B\) (ad indicare il primo bambino), perché questo equivale ad attribuire ai cinque bambini le otto tavolette in tutti i modi possibili: il numero di combinazioni coincide quindi con il numero di anagrammi distinti di una parola di \(12=n+k-1\) lettere, di cui solo due distinte, e tali che una si ripete \(4=n-1\) volte, l’altra \(8=k\) volte: \[\frac{\left( n+k-1 \right)!}{\left( n-1 \right)!k!}=\frac{12!}{4!8!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2}=495\quad .\] Un modo alternativo, più diretto ma più dispendioso, consiste nel valutare tutte le possibili cinquine non ordinate di numeri compresi tra \(0\) e \(8\) la cui somma dia \(8\), e poi valutare per ciascuna di esse in quanti modi possa essere distribuita sui cinque bambini. Le cinquine possibili sono \(18\): \[80000\quad 71000\quad 62000\quad 61100\quad 53000\quad 52100\quad 51110\quad 44000\quad 43100\]\[42200\quad 42110\quad 33200\quad 33110\quad 32210\quad 22220\quad 41111\quad 32111\quad 22211\] che, ordinatamente, hanno ciascuna i seguenti numeri di modi di realizzarsi: \[5\quad 20\quad 20\quad 30\quad 20\quad 60\quad 20\quad 10\quad 60\] \[30\quad 60\quad 30\quad 30\quad 60\quad 5\quad 5\quad 20\quad 10\] per un totale di \(495\).
Massimo Bergamini