Ricevo da Francesco la seguente domanda:
Salve Professore,
la difficoltà di questo problema è generalizzare il modello, anche data l’ambiguità a mio parere dell’esercizio. Quale potrebbe essere un metodo di risoluzione?
Un’urna contiene \(3\) palline nere e \(4\) palline rosse. Calcola quanti sono i possibili gruppi da cinque palline che si possono ottenere se vengono estratte consecutivamente una dopo l’altra senza rimettere le palline estratte nell’urna. Calcola inoltre quanti di questi gruppi sono formati da due palline nere e tre rosse.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Francesco,
una possibile interpretazione del problema mi pare la seguente: si considerino i gruppi di cinque palline come le possibili combinazioni di \(7\) oggetti distinti presi \(5\) a \(5\), cioè, ad esempio, si pensino le palline come dotate di un numero oltre che del colore (\(N_1\), \(N_2\), \(N_3\), \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\)), e si contino tutte le cinquine non ordinate che si possono formare. Se infatti ci limitassimo a considerare le cinquine distinte solo per la composizione in termini di colore, avremmo solo tre cinquine possibili: \(4\) rosse e \(1\) nera, \(3\) rosse e \(2\) nere, \(2\) rosse e \(3\) nere, e non solo l’ultima domanda non avrebbe molto senso, ma sarebbe ovviamente un conteggio fuorviante se volessimo utilizzarlo per calcolare la probabilità di estrazione di una data composizione cromatica: è chiaro che le tre possibilità non sono equiprobabili. D’altra parte, considerare le cinquine estratte distinte anche per l’ordine di estrazione, significherebbe semplicemente moltiplicare per \(5!\) (permutazioni possibili all’interno di una data combinazione) il numero di gruppi possibili: ai fini di un calcolo delle probabilità di estrarre una certa composizione non cambierebbe nulla.
Abbiamo quindi che il numero totale di estrazioni che consideriamo distinte sono\[{{C}_{7,5}}=\frac{7!}{5!2!}=21\]di cui \(1\cdot {{C}_{3,1}}=3\) del tipo \(4\) rosse e \(1\) nera, \({{C}_{3,1}}\cdot {{C}_{4,1}}=3\cdot 4=12\) del tipo \(3\) rosse e \(2\) nere, \(1\cdot {{C}_{4,2}}=6\) del tipo \(2\) rosse e \(3\) nere.
Massimo Bergamini