Ricevo da Simona la seguente domanda:
Gent.mo Professore,
potrebbe spiegarmi questo problema sul calcolo delle probabilità (Matematica.Blu, pag.85\(\alpha\), n.69)?
Si estraggono contemporaneamente \(3\) carte da un mazzo di \(40\) carte. Calcola la probabilità che si presentino: i) tre figure o tre carte di due semi fissati;
ii) tre carte di due semi fissati o tre sette.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Simona,
in entrambi i casi possiamo riferirci ad un insieme universo di eventi equiprobabili a priori di cardinalità pari alle combinazioni di \(40\) oggetti distinti presi \(3\) a \(3\), cioè \({{C}_{40,3}}=\frac{40!}{37!3!}=9880\). Nel primo caso si tratta di valutare la cardinalità del sottoinsieme unione di due sottoinsiemi distinti: il primo ha cardinalità \({{C}_{12,3}}=\frac{12!}{9!3!}=220\) (le possibili scelte non ordinate di \(3\) figure tra le \(12\) presenti), il secondo ha cardinalità \({{C}_{20,3}}=\frac{20!}{17!3!}=1140\) (le possibili terne di carte tra le \(20\) appartenenti a due semi fissati): tenendo conto del fatto che \({{C}_{6,3}}=\frac{6!}{3!3!}=20\) sono le terne che appartengono ad entrambi i sottoinsiemi (tre figure dei due semi prefissati), la probabilità \(p_1\) dell’evento è \[{{p}_{1}}=\frac{220+1140-20}{9880}=\frac{67}{494}\approx 13,56%\quad .\]
Nel secondo caso, all’insieme di cardinalità \({{C}_{20,3}}=\frac{20!}{17!3!}=1140\) va unito l’insieme di cardinalità \({{C}_{4,3}}=\frac{4!}{3!}=4\) (le terne di soli \(7\)), disgiunto dal primo (non si possono avere tre \(7\) di due soli semi), per cui la probabilità \(p_2\) dell’evento è in tal caso: \[{{p}_{2}}=\frac{1140+4}{9880}=\frac{11}{95}\approx 11,58%\quad .\]
Massimo Bergamini